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Pythagore (569-475 A-J) est reconnu comme le premier grand mathématicien à calculer mathématiquement les rapports des intervalles musicaux. L'anecdote qui relate comment il a saisi ces relations mathématiques est la suivante. Se promenant sur la rue, il entend un forgeron qui battait une pièce de métal. Il constata que les divers sons créés par les bruits des marteaux sur le métal étaient harmonieux. En pénétrant dans la forge, il s'aperçoit alors que le forgeron utilisait des marteaux de divers poids, donnant chacun une note différente. Cette anecdote, bien qu'elle ne soit pas vraiment confirmée, aurait été, semble-t-il, l'élément déclencheur de sa recherche sur les rapports mathématiques en musique. Il faut ajouter que Pythagore était aussi un homme très spirituel. Il désirait découvrir ce qu'on appelle l'harmonie des sphères, une harmonie qu'on ne pouvait découvrir que par l'entremise des mathématiques. Toutefois, l'instrument qui lui a permis de trouver ces rapports mathématiques de la musique était un monocorde, un instrument qui comprenait une caisse de résonance sur laquelle une corde tendue unique était placée. Un chevalet amovible placé sous la corde pouvait être déplacé et ainsi changé la longueur de la corde pincée. Si on pince la corde entière, par exemple, il obtenait une note particulière. Si le chevalet est placé en son centre et on pince de nouveau la partie droite de la corde, on obtient la même note mais un octave plus haut; si le chevalet est placé au tiers de la corde, il obtenait une note une quinte plus haut. Avec cette méthode fort simple départ, il a réussi à calculer mathématiquement les rapports sonores des intervalles musicaux. Ainsi, l'octave a un rapport de 2 sur 1, la quinte a un rapport de 3 sur 2, la quarte un rapport de 4 sur 3, et ainsi de suite.
L'autre grande découverte de Pythagore est ce qu'on appelle en musique l'ordre des quintes à partir de laquelle il a pu trouver les 12 demi-tons divisant l'octave dans la musique occidentale. Voici comment il procéda. Si on part de do, la quinte de do est le sol. Si on calcule la quinte de sol, on obtient le ré; la quinte de ré est le la, et ainsi de suite. Il a obtenu la série de notes suivantes :
Tableau 1 : Ordre des quintes
Do ? sol ? ré ? la ? mi ? si ? fa# - do# - sol# - ré# = la# - fa à do
À la treizième note, on revient au do, fermant ainsi la boucle des 12 notes de la gamme chromatique.
Tableau 2 : Gamme chromatique
Do ? do# - ré ? ré# - mi ? fa ? fa# - sol ? sol# - la ? la# - si à do
